Weird Science

Krzywe Lissajous - piękno drgań

Poniższy arty­kuł został opu­bli­ko­wany pier­wot­nie w mie­sięcz­niku Młody Tech­nik (6/2015):

Ilustracja

Ples M., Krzywe Lis­sa­jous - piękno drgań, Młody Tech­nik, 6 (2015), Wydaw­nic­two AVT, str. 76-77

Wstęp

Myślę, że na początku sza­now­nym czy­tel­ni­kom należy się kilka wyja­śnień. Czym są enig­ma­tyczne krzywe (cza­sem nazy­wane figu­rami) Lis­sa­jous?

Mate­ma­tyk lub fizyk odpo­wie­działby natych­miast, że są to krzywe para­me­tryczne dane wzo­rem:

x(t) = A sin(at + φ), y(t) = B sin(bt)

Krzywe te opi­sują drga­nia har­mo­niczne. Po raz pierw­szy opi­sał je ame­ry­kański mate­ma­tyk Natha­niel Bow­ditch, ale są one bar­dziej znane pod nazwi­skiem Julesa Anto­ine Lis­sa­jous, ponie­waż to on zaczął je badać z wyko­rzy­sta­niem zbu­do­wa­nego przez sie­bie przy­rządu.

Jules Anto­ine Lis­sa­jous żyjący w latach 1822-1880 był fran­cu­skim mate­ma­ty­kiem i fizy­kiem. Stu­dio­wał na École Nor­male Supérieure, po uzy­ska­niu stop­nia nau­ko­wego dok­tora pełnił funk­cję rek­tora Aka­de­mii Cham­béry, a następ­nie Aka­de­mii Besa­nçon. Lis­sa­jous inte­re­so­wał się w szcze­gólny spo­sób falami aku­stycz­nymi. Opra­co­wał przy­rząd zbu­do­wany z drga­jących kamer­to­nów z osa­dzo­nymi na nich zwier­cia­dłami. Umożl­i­wiał on obser­wa­cję krzy­wych, nazwa­nych późn­iej na cześć uczo­nego.

Rozu­miem, że powyższy wzór może nie prze­ko­nać wszyst­kich, a w szcze­gól­no­ści tych, którzy z jakichś nie­wia­do­mych mi powo­dów czują awer­sję do opisu mate­ma­tycz­nego. Na szczę­ście można to też wyja­śnić w spo­sób gra­ficzny (Rys.1). Rysu­nek ten uka­zuje trzy naj­prost­sze przy­padki krzy­wych Lis­sa­jous, czyli wtedy kiedy często­tli­wo­ści obu drgań sinu­so­i­dal­nych zacho­dzących w pro­sto­pa­dłych do sie­bie płasz­czy­znach (skła­do­wych x i y) są jed­na­kowe. Przy­padki A, B i C różnią się jed­nak prze­su­nięciem w fazie, to jest argu­men­tem φ w przy­to­czo­nym uprzed­nio wzo­rze. I tak mamy:

Ilustracja
Rys. 1 – Pow­sta­wa­nie krzy­wych Lis­sa­jous; kolumna lewa – drga­nie wypad­kowe, kolumna prawa – drga­nia skła­dowe

Odpo­wied­nio dobie­ra­jąc obie często­tli­wo­ści i prze­su­nięcie fazowe można uzy­skać odmien­nie krzywe, często o zaska­ku­jąco este­tycz­nym wyglądzie.

Jak jed­nak uzy­skać takie krzywe, szcze­gól­nie jeśli nie chce się ich po pro­stu kre­ślić żmud­nie na kartce papieru lub ekra­nie kom­pu­tera?

Spo­so­bów jest wiele. Można na przy­kład (jak sam Lis­sa­jous) obser­wo­wać pro­mień świa­tła odbity od zwier­cia­deł drga­jących w pro­sto­pa­dłych płasz­czy­znach. Dobrym spo­so­bem jest też wyko­rzy­sta­nie oscy­lo­skopu, który posiada możl­i­wość odchy­la­nia plamki zarówno w osi X, jak i Y – wystar­czy wtedy pod­łączyć do urządze­nia dwa sygnały elek­tryczne o regu­lo­wa­nej często­tli­wo­ści i fazie.

Wresz­cie, do wykre­śle­nia krzy­wych Lis­sa­jous można wyko­rzy­stać też wła­ści­wo­ści waha­dła o odpo­wied­niej kon­struk­cji.

Doświad­cze­nie

By uzy­skać krzywe Lis­sa­jous w domo­wych warun­kach, wygod­nie jest się posłu­żyć waha­dłem o odpo­wied­niej kon­struk­cji (Rys.2).

Ilustracja
Rys. 1 – Budowa waha­dła do obser­wa­cji krzy­wych Lis­sa­jous

Zasta­nówmy się, w jaki spo­sób będzie dzia­łało takie waha­dło. Wiemy, że dla nie­wiel­kich wychy­leń okres T drgań waha­dła można opi­sać wzo­rem:

Ilustracja

gdzie: l – dłu­gość waha­dła, g – ziem­skie przy­spie­sze­nie gra­wi­ta­cyjne. Waha­dło o pro­po­no­wa­nej kon­struk­cji w płasz­czyźnie pro­sto­pa­dłej do płasz­czy­zny rysunku rysunku będzie wyka­zy­wać drga­nia o okre­sie T1, zaś w płasz­czyźnie rysunku o okre­sie T2. Okresy drgań będą się różnić, z powodu różn­icy efek­tyw­nej dłu­go­ści waha­dła w tych płasz­czy­znach, odpo­wied­nio L1 i L2. Jeśli L2 będzie nie­wiele mniej­sze od L1 to nie zaob­ser­wu­jemy wyraźnej różn­icy często­tli­wo­ści drgań. Będzie się nato­miast zmie­niać wza­jemne prze­su­nięcie w fazie (w zakre­sie od 0 do 2π), ponie­waż jedno drga­nie będzie nie­jako wyprze­dzać dru­gie. Umożl­iwi to wykre­śle­nie inte­re­su­jących krzy­wych Lis­sa­jous.

W moich doświad­cze­niach dłu­go­ści waha­dła wyno­siły około:

Masa wyko­rzy­sta­nego ciężarka była równa 0,05kg.

Wizu­a­li­za­cji krzy­wych Lis­sa­jous naj­le­piej doko­nać na dro­dze reje­stra­cji foto­gra­ficz­nej o dłu­gim cza­sie eks­po­zy­cji. Do ciężarka waha­dła trzeba wtedy przy­mo­co­wać pro­sty oświe­tlacz, zbu­do­wany z diody LED, włączo­nego sze­re­gowo z nią rezy­stora (R w zakre­sie 1-5kΩ) oraz minia­tu­ro­wej bate­rii o napięciu 3V (np. typu CR2032). Apa­rat foto­gra­ficzny powi­nien być usta­wiony poni­żej waha­dła i być skie­ro­wany w górę, jak to poka­zano na Rys. 2. Pusz­czone w ruch waha­dło należy wtedy foto­gra­fo­wać w ciem­no­ści, oczy­wi­ście z włączo­nym oświe­tla­czem, a czas eks­po­zy­cji trzeba dobrać eks­pe­ry­men­tal­nie. Zwy­kle będzie to kil­ka­na­ście, kil­ka­dzie­siąt sekund.

Zare­je­stro­wane w ten spo­sób obrazy krzy­wych Lis­sa­jous przed­sta­wia Fot.1.

Ilustracja:

Kliknij, aby powiększyć

Fot. 1 – Uzy­skane krzywe Lis­sa­jous

Przy nieco innych dłu­go­ściach L1, L2, a także przy dłuższym cza­sie naświe­tla­nia uzy­skano krzywą przed­sta­wioną na Fot.2.

Ilustracja:

Kliknij, aby powiększyć

Fot. 2 – kolejna krzywa Lis­sa­jous

Widzimy więc, że figury uzy­skane nawet w ten bar­dzo pro­sty spo­sób, odz­na­czają się swo­i­stym, geo­me­trycz­nym pięk­nem.

Oczy­wi­ście, wygląd krzy­wych można zmie­niać w bar­dzo sze­ro­kim zakre­sie. Trzeba jedy­nie zmo­dy­fi­ko­wać dłu­go­ści waha­dła, a także dłu­gość czasu naświe­tla­nia zdjęć.

Lite­ra­tura:

W powyższym tek­ście doko­nano nie­wiel­kich zmian edy­tor­skich w sto­sunku do wer­sji opu­bli­ko­wa­nej w  cza­so­pi­śmie, w celu uzu­pełn­ie­nia i lep­szego przy­sto­so­wa­nia do pre­zen­ta­cji na stro­nie inter­ne­to­wej.

Marek Ples

Aa