Weird Science

Wyznaczanie wartości przyspieszenia grawitacyjnego

Przy­spie­sze­nie gra­wi­ta­cyjne

Zasta­na­wia­łeś się Czy­tel­niku czym dokład­nie jest war­tość kry­jąca się za małą literką "g" w więk­szo­ści wzo­rów odno­szących się do siły gra­wi­ta­cji? Możl­iwe, że pamiętasz, iż jest to ziem­skie przy­spie­sze­nie gra­wi­ta­cyjne. Gdyby zaszła potrzeba zde­fi­nio­wa­nia tego ter­minu to sprawa byłaby trud­niej­sza.

Ziem­skie przy­spie­sze­nie gra­wi­ta­cyjne jest to przy­spie­sze­nie ciał swo­bod­nie spa­da­jących na Zie­mię, bez opo­rów ruchu. Pamiętamy, że według zasad dyna­miki przyśp­ie­sze­nie jest powo­do­wane przez zew­nętrzną siłę. W tym przy­padku jest nią dzia­ła­jąca na to ciało siła gra­wi­ta­cji. Na nie­wiel­kich dystan­sach możemy pomi­nąć spa­dek siły gra­wi­ta­cji spo­wo­do­wany wzro­stem odle­gło­ści od środka Ziemi, możemy więc uznać, że siła dzia­ła­jąca na ciało jest stała co do war­to­ści. Przy­spie­sze­nie także będzie miało war­tość stałą w cza­sie. I wła­śnie to przy­spie­sze­nie nazy­wane jest przy­spie­sze­niem ziem­skim. Jed­nostką przy­spie­sze­nia ziem­skiego jest m/s2.

Do obli­czeń nie wyma­ga­jących szcze­gól­nej dokład­no­ści przyj­muje się war­tość przy­spie­sze­nia ziem­skiego równą 9,81m/s2

War­tość przy­spie­sze­nia ziem­skiego zależy od sze­ro­ko­ści geo­gra­ficz­nej oraz wyso­ko­ści nad pozio­mem morza. Wraz z wyso­ko­ścią przy­spie­sze­nie maleje. Jest to wyni­kiem zmniej­sza­nia się siły gra­wi­ta­cji zgod­nie z pra­wem pow­szech­nego ciąże­nia. Zmniej­sza­nie się przy­spie­sze­nia ziem­skiego wraz z zmniej­sza­niem sze­ro­ko­ści geo­gra­ficz­nej jest spo­wo­do­wane dzia­ła­niem pozor­nej siły odśrod­ko­wej, która pow­staje na sku­tek ruchu obro­to­wego Ziemi. Dodat­kowe zmniej­sze­nie przy­spie­sze­nia ziem­skiego w oko­li­cach rów­nika spo­wo­do­wane jest spłasz­cze­niem Ziemi, która nie jest ide­alną kulą lecz geo­idą.

Jak wyzna­czyć war­tość przy­spie­sze­nia gra­wi­ta­cyj­nego?

W warun­kach domo­wych możemy sobie wyo­bra­zić trzy spo­soby wyzna­cze­nia g:

My wyko­rzy­stamy trze­cią metodę, ponie­waż daje ona naj­lep­sze rezul­taty i jest najm­niej kło­po­tliwa do rea­li­za­cji. Ponadto wyniki uzy­skane w ten spo­sób są sto­sun­kowo dokładne.

Co, dla­czego i jak?

Czym jest waha­dło mate­ma­tyczne? Waha­dło mate­ma­tyczne to abs­trak­cyjny twór: punkt mate­rialny zawie­szony na nie­roz­ciągli­wej i nie­ważk­iej nici. Ilustracja

źródło: http://s0.wdsta­tic.com/ima­ges/it/ll/2/21/Pen­du­lum_ani­ma­tion.gif, dostęp: 09.11.2011, zmo­dy­fi­ko­wano

Jest możl­iwe zbu­do­wa­nie waha­dła rze­czy­wi­stego będącego jego dobrym przy­bli­że­niem, dzięki czemu można sto­so­wać obo­wiązu­jący dla waha­dła mate­ma­tycz­nego wzór:

Ilustracja

Gdzie:

T-okres[s]

l-dłu­gość waha­dła[m]

g-przy­spie­sze­nie ziem­skie[m/s2]

Z tego wzoru po prze­ksz­tałc­e­niu możemy wyzna­czyć g, zna­jąc dłu­gość waha­dła i jego okres.

Sprzęt i pomiary

Co jest nam potrzebne? By zbu­do­wać waha­dło jak naj­bar­dziej zbli­żone do mate­ma­tycz­nego będziemy potrze­bo­wać:

Cięża­rek przy­wiązu­jemy na końcu nici, tę zaś pod­wie­szamy gdzieś, na przy­kład pod sufi­tem. Im więk­sza dłu­gość waha­dła tym jego drga­nia odby­wają się w wol­niej­szym tem­pie, co czyni pomiar czasu łatwiej­szym. Następ­nie należy jak naj­do­kład­niej zmie­rzyć dłu­gość waha­dła (od punktu zawie­sze­nia do środka ciężk­o­ści ciężarka). W moim przy­padku dłu­gość ta wynio­sła l=0,9m. Następ­nie musimy zmie­rzyć okres waha­dła. Jedno jego wah­nięcie zaj­muje bar­dzo nie­wiele czasu. Aby pomiar był prost­szy doko­nu­jemy sto­pe­rem pomiaru czasu kolej­nych 10 drgań waha­dła, otrzy­many zaś czas dzie­limy rów­nież przez 10. Dzięki temu uzy­sku­jemy średni okres waha­dła. Mini­ma­li­zuje to w miarę możl­i­wo­ści błędy pomiaru czasu. Dla pew­no­ści doko­namy trzech takich pomia­rów i wyciągniemy z nich śred­nią. Otrzy­mane przeze mnie wyniki przed­sta­wi­łem w tabeli:

Ilustracja

Widzimy wyniki trzech kolej­nych pomia­rów cza­sów 10 drgań waha­dła, które po podzie­le­niu przez 10 bez­po­śred­nio dają nam okres T wyra­żony w sekun­dach. Pomia­rów doko­nano sto­pe­rem w tele­fo­nie komór­ko­wym. Wszyst­kie wyniki były do sie­bie zbli­żone, możemy więc uśred­nić dane otrzy­mu­jąc średni okres waha­dła T=1,906s dla waha­dła o dłu­go­ści l=0,9m.

Prze­ksz­tałc­a­jąc wyżej przy­to­czony wzór tak by otrzy­mać g uzy­sku­jemy:

g=(4*π2*l)/T2

Po pod­sta­wie­niu uzy­ska­nych przez nas danych (pi przy­jęto jako 3,14) uzy­sku­jemy:

g=9,77m/s2

Porów­nu­jąc tą war­tość z wcze­śniej przy­to­czoną war­to­ścią teo­re­tyczną (9,81m/s2) stwier­dzamy nie­wielką różn­icę. Nie jest to wina żad­nej ano­ma­lii gra­wi­ta­cyj­nej, lecz nie­wiel­kich nie­do­kład­no­ści pomia­rów. Przy tak skrom­nym sprzęcie otrzy­many wynik jest naprawdę dobrej jako­ści, a odchy­le­nie od war­to­ści rze­czy­wi­stej naprawdę nie­wiel­kie. Różn­ica między war­to­ścią pocho­dząca z pomia­rów i z tablic wynio­sła zale­d­wie 0,04m/s2.

Możemy więc stwier­dzić, że metoda pomiaru przy­spie­sze­nia ziem­skiego metodą waha­dła mate­ma­tycz­nego jest odpo­wied­nia i zapew­nia dobre wyniki. Zachęcam do wła­snych eks­pe­ry­men­tów.

Życzę miłej i pou­cza­jącej zabawy:)

Lite­ra­tura dodat­kowa:

Marek Ples

Aa